בגרות קיץ 2026 מועד א' · שאלה 1 – תכנון ליניארי: תחום אפשרי ורווח מקסימלי במסעדה3 יחידות 372 · שיעור 12
בגרות קיץ 2026 מועד א' · שאלה 1
בגרות קיץ 2026 מועד א' · שאלה 1 – תכנון ליניארי: תחום אפשרי ורווח מקסימלי במסעדה
פרק 2 – תכנון לינארי
1נוסח השאלה
2סעיף א – התחום האפשרי
3סעיף ב (1) – פונקציית המטרה
4סעיף ב (2) – הרווח המקסימלי
5סעיף ג (1) – הרווחים החדשים
6סעיף ג (2) – בכמה גדל הרווח המקסימלי
📄 נוסח השאלה
במסעדה מסוימת מכינים בכל יום מנות משני סוגים – מנה צמחונית ומנה בשרית.
נסמן ב־x את מספר המנות הצמחוניות וב־y את מספר המנות הבשריות שמכינים במסעדה ביום אחד.
לפניכם מערכת האילוצים של הכנת המנות במסעדה זו ביום אחד:
א. סרטטו את התחום האפשרי המתקבל ממערכת האילוצים הנתונה.
📄 נוסח השאלה · המשך
הרווח של המסעדה ממכירה של מנה צמחונית אחת הוא 25 שקלים, והרווח ממכירה של מנה בשרית אחת הוא 55 שקלים.
ב. (1) כתבו את פונקציית המטרה של רווח המסעדה ממכירת המנות.
(2) כמה מנות מכל סוג צריך למכור במסעדה ביום אחד כדי שהרווח יהיה מקסימלי?
📄 נוסח השאלה · המשך
מנהל המסעדה החליט לשנות את מחירי המנות. בעקבות זאת הרווח ממכירה של מנה צמחונית אחת קטן ב־10%, והרווח ממכירה של מנה בשרית אחת גדל ב־20%.
ג. (1) מצאו את הרווח ממכירה של מנה צמחונית אחת ואת הרווח ממכירה של מנה בשרית אחת לאחר השינוי במחירים.
(2) מצאו בכמה גדל הרווח המקסימלי של המסעדה ביום אחד לאחר השינוי במחירים.
סעיף א – התחום האפשרי
x ≥ 0 ו־y ≥ 0: התחום ברביע הראשון.
נסרטט כל ישר לפי שתי נקודות חיתוך עם הצירים:
x + 5y = 100: כש־x = 0 מקבלים y = 20; כש־y = 0 מקבלים x = 100.
x + 2y = 58: כש־x = 0 מקבלים y = 29; כש־y = 0 מקבלים x = 58.
הסימן ≤ – התחום מתחת לכל אחד מהישרים (הנקודה (0 , 0) מקיימת את שני האי־שוויונים: 0 ≤ 100, 0 ≤ 58).
נקודת החיתוך של שני הישרים – נחסר את המשוואות:
סעיף א – התחום האפשרי · המשך
נקודת החיתוך של שני הישרים – נחסר את המשוואות:
x + 5y = 100
x + 2y = 58
נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה:
3y = 42
y = 14
סעיף א – התחום האפשרי · המשך
y = 14
x + 2y = 58
נציב y = 14:
x + 2 · 14 = 58
x = 58 − 28 = 30
התחום האפשרי (בירוק) הוא המרובע שקודקודיו (0 , 0), (58 , 0), (30 , 14), (0 , 20).
סעיף א – התחום האפשרי · המשך
התחום האפשרי (בירוק) הוא המרובע שקודקודיו (0 , 0), (58 , 0), (30 , 14), (0 , 20).
✅ פתרון סופי: מרובע עם הקודקודים (0 , 0), (58 , 0), (30 , 14), (0 , 20) (בסרטוט)
סעיף ב (1) – פונקציית המטרה
הרווח: 25 שקלים לכל אחת מ־x המנות הצמחוניות, ו־55 שקלים לכל אחת מ־y המנות הבשריות:
f(x , y) = 25x + 55y
✅ פתרון סופי: f(x , y) = 25x + 55y
סעיף ב (2) – הרווח המקסימלי
נציב את קודקודי התחום בפונקציית המטרה:
📐 מקסימום בתכנון ליניארי
f(x , y) = 25 · x + 55 · y
נציב x = 0 , y = 0:
f(0 , 0) = 25 · 0 + 55 · 0
f(0 , 0) = 0
נציב x = 58 , y = 0:
📐 מקסימום בתכנון ליניארי
הערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום האפשרי
סעיף ב (2) – הרווח המקסימלי · המשך
נציב x = 58 , y = 0:
f(58 , 0) = 25 · 58 + 55 · 0
f(58 , 0) = 1,450
נציב x = 30 , y = 14:
f(30 , 14) = 25 · 30 + 55 · 14
f(30 , 14) = 1,520
סעיף ב (2) – הרווח המקסימלי · המשך
f(30 , 14) = 1,520
נציב x = 0 , y = 20:
f(0 , 20) = 25 · 0 + 55 · 20
f(0 , 20) = 1,100
הערך הגדול ביותר – 1,520 שקלים, בקודקוד (30 , 14).
✅ פתרון סופי: 30 מנות צמחוניות ו־14 מנות בשריות (רווח 1,520 שקלים)
סעיף ג (1) – הרווחים החדשים
מנה צמחונית – הרווח קטן ב־10%:
ערך חדש = ערך · 100 − האחוז100
נציב ערך = 25 , האחוז = 10:
ערך חדש = 25 · 100 − 10100 = 25 · 0.9
📐 שינוי באחוזים
ערך חדש = 25 · 100 − 10100 = 22.5
מנה בשרית – הרווח גדל ב־20%:
📐 שינוי באחוזים
ערך חדש = ערך · 100 ± האחוז100
סעיף ג (1) – הרווחים החדשים · המשך
מנה בשרית – הרווח גדל ב־20%:
ערך חדש = ערך · 100 + האחוז100
נציב ערך = 55 , האחוז = 20:
ערך חדש = 55 · 100 + 20100 = 55 · 1.2
📐 שינוי באחוזים
ערך חדש = 55 · 100 + 20100 = 66
✅ פתרון סופי: צמחונית 22.5 שקלים, בשרית 66 שקלים
📐 שינוי באחוזים
ערך חדש = ערך · 100 ± האחוז100
סעיף ג (2) – בכמה גדל הרווח המקסימלי
פונקציית המטרה החדשה:
f(x , y) = 22.5x + 66y
התחום האפשרי לא השתנה (האילוצים אותם אילוצים). נציב שוב את הקודקודים:
נבדוק את ערך הפונקציה בכל קודקוד:
📐 מקסימום בתכנון ליניארי
f(x , y) = 22.5 · x + 66 · y
נציב x = 0 , y = 0:
📐 מקסימום בתכנון ליניארי
הערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום האפשרי
סעיף ג (2) – בכמה גדל הרווח המקסימלי · המשך
נציב x = 0 , y = 0:
f(0 , 0) = 22.5 · 0 + 66 · 0
f(0 , 0) = 0
נציב x = 58 , y = 0:
f(58 , 0) = 22.5 · 58 + 66 · 0
f(58 , 0) = 1,305
סעיף ג (2) – בכמה גדל הרווח המקסימלי · המשך
f(58 , 0) = 1,305
נציב x = 30 , y = 14:
f(30 , 14) = 22.5 · 30 + 66 · 14
f(30 , 14) = 1,599
נציב x = 0 , y = 20:
f(0 , 20) = 22.5 · 0 + 66 · 20
סעיף ג (2) – בכמה גדל הרווח המקסימלי · המשך
f(0 , 20) = 22.5 · 0 + 66 · 20
f(0 , 20) = 1,320
הרווח המקסימלי החדש 1,599 שקלים (שוב בקודקוד (30 , 14)).
ההפרש:
1,599 − 1,520 = 79
✅ פתרון סופי: גדל ב־79 שקלים
📌 סיכום התשובות
א
מרובע: (0 , 0), (58 , 0), (30 , 14), (0 , 20)
ב (1)
f = 25x + 55y
ב (2)
30 צמחוניות, 14 בשריות
ג (1)
22.5 ו־66 שקלים
ג (2)
ב־79 שקלים
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא